Conference
East Asian Conference on Gauge theory and Related topics II (Dec 17 - 20, 2024, Nara Prefectural Convention Center)Workshop
Special Workshop in Gauge Theory (Jan 9 - 12, 2024, Kyoto University)Dec 19, JST 9:00-11:00 (UTC 0:00-2:00) Online on Zoom.
Speaker: Jin Miyazawa (The University of Tokyo)
Title: 4次元多様体に埋め込まれた曲面の不変量とエキゾチック $P^2$-knot
Abstract: 4次元多様体の曲面の埋め込みがふたつ与えられたとき、これらが位相的にはアイソトピックだが滑らかにはアイソトピックでないときこれらをエキゾチック曲面対ということにする。4次元多様体の中のエキゾチック曲面対の存在問題には多くの先行研究があるが、$S^4$ の中の閉曲面によるエキゾチック曲面対の先行研究は少なく、特に向き付け可能な曲面によるものは現在でも知られていない。向き付け不可能な曲面の埋め込みについては、最も種数が小さい例は Finashin によって与えられた実射影平面の6つの連結和の例である。
$S^4$ の中のエキゾチック曲面対の検出の困難さの一因は、滑らかにはアイソトピックでないことを示す手法の少なさにある。特に、$S^4$ の向き付け不可能な曲面のエキゾチック曲面対はすべて、二重分岐被覆で得られる４次元多様体のエキゾチック性に帰着して示されている。この手法を種数の小さい向き付け不可能曲面に適用するには「小さい４次元多様体」でエキゾチックなものを見つけねばならず、これは困難であることが知られている。
本講演では、４次元多様体に埋め込まれた曲面の不変量をReal Seiberg--Witten理論を用いて構成し、応用として, 実射影平面の $S^4$ へのエキゾチックな埋め込みの無限族を与える。
Workshop
The 9th KTGU Mathematics Workshop for Young Researchers (October 2 – 3, 2023, Kyoto university)July 20, JST 10:00-12:00 (UTC 01:00-03:00) Online on Zoom.
Speaker: Mitsuyoshi Adachi (The University of Tokyo)
Title: A gerbe-like construction in gauge theory
Abstract: Let $X$ be a homotopy $K3$ surface and $\mathbb{X}$ be a $X$-bundle with structure group $\mathrm{Diff}^+(X)$. In 2022, Baraglia and Konno proved that $w_2(\mathcal{H}^+(\mathbb{X})) = 0$ provided that $\mathbb{X}$ admits a family of fiberwise spin structures, where $\mathcal{H}^+(\mathbb{X})$ is a vector bundle consisting of self-dual harmonic 2-forms.
In this talk, we give a direct and geometric alternative proof of their result. Our method centers around a canonical construction of a spin structure on $\mathcal{H}^+(\mathbb{X})$, given a family of fiberwise spin structures on $\mathbb{X}$. The construction is achieved by using the families Seiberg-Witten equations.
As an application of this method, we show that $w_2(\mathcal{H}^+(\mathbb{X}))$ is, in general, identified with the obstruction class for the existence of a family of fiberwise spin structures on $\mathbb{X}$.
Actually we give an isomorphism between two gerbes representing the two cohomology classes.
International conference
Gauge Theory in Kyoto(March 22-24, 2023, Kyoto university)Aug 31, JST 10:00-12:00 (UTC 01:00-03:00) Online on Zoom.
Speaker: Masaki Taniguchi (Riken iTHEMS)
Title: Singular instanton knot homology and Rasmussen type invariant
Abstract: ゲージ理論に現れる Floer 理論から数値不変量を取り出す方法として Froyshov 不変量という枠組みがある. これは固定点に対応する同変 Tate Floer homology のある submodule の高さを表すものと言える. 今回, Froyshov 不変量の一つの精密化として, Borel Floer homology のある元(の列)を導入する. 主結果として, singular instanton 理論に定まるこの元の“高さ“から, Kronheimer-Mrowka の $s^\#$ 不変量が復元されることを示す. また, singular instanton 理論における local equivalent theory を Chern-Simons filtration の情報込みで整備したことについても報告する. 他の理論(HF, SW理論)との比較を口頭で行いながら解説する. 応用として, 3次元ホモロジー同境群, 結び目コンコーダンス群についての進展も述べる. この研究は, Aliakbar Daemi, 佐藤光樹氏, Christopher Scaduto, 井森隼人氏らとの共同研究である.
June 17, JST 15:00-16:00 (UTC 06:00-07:00, ACST 15:30-16:30) Online on Zoom.
Speaker: Joshua Celeste (The University of Adelaide)
Title: Families Seiberg-Witten invariants of families of Kähler Surfaces
Abstract: In this talk I will discuss some results from my Master’s thesis, concerning a computation of the families Seiberg-Witten invariants for families of Kähler surfaces with $b_1=0$, and some cohomological constraints for when they are a non-zero diffeomorphism invariant of families when the base of the family is $S^2$.
April 28, JST 9:00-10:00 (UTC 0:00-1:00) Online on Zoom.
Speaker: Anubhav Mukherjee (Georgia Institute of Technology)
Title: Obstructions to embeddings in 4-manifolds using Bauer--Furuta type invariant.
Abstract: In this talk I will discuss some new properties of an invariant for 4-manifold with boundary which was originally defined by Nobuo Iida. As one of the applications of this new invariant I will demonstrate how one can obstruct a knot from being h-slice (i.e bound a homologically trivial disk) in 4-manifolds. Also, this invariant can be useful to detect exotic smooth structures of 4-manifolds. This a joint work with Nobuo Iida and Masaki Taniguchi.